Với bài học kinh nghiệm này bọn họ sẽ mày mò về Định lí Ta-lét (Thalès) vào tam giác. Đây là một định lí cực kì quan trọng trong chương trình toán phổ thông.

Bạn đang xem: Định lý talet trong tam giác


1. Nắm tắt lý thuyết

1.1. Định lí Talet vào tam giác

1.2. Định lí Talet tổng quát

2. Bài bác tập minh hoạ

3. Luyện tập Bài 1 Chương 3 Hình học tập 8

3.1 Trắc nghiệm vềĐịnh lí Ta-lét vào tam giác

3.2. Bài tập SGK vềĐịnh lí Ta-lét vào tam giác

4. Hỏi đáp bài bác 1 Chương 3 Hình học tập 8


a. Định lí thuận

Nếu một đường thẳng cắt hai của một tam giác và tuy nhiên song cùng với cạnh còn sót lại thì nó định ra trên hai cạnh đó đều đoạn thẳng tương xứng tỉ lệ.

(Delta ABC;,,B"C",//BC, Rightarrow fracAB"AB = fracAC"AC.)

b. Định lí đảo

Nếu một mặt đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác với định ra trên nhì cạnh này các đoạn thẳng tương xứng tỉ lệ thì con đường thẳng đó tuy vậy song cùng với cạnh còn lại của tam giác.

(Delta ABC;,fracAB"AB = fracAC"AC Rightarrow B"C"https://BC)

Tóm tắt: (Delta ABC;,,B"C"https://BC Leftrightarrow fracAB"AB = fracAC"AC.)

Chú ý: Định lí Talet thuận và hòn đảo đúng đối với tất cả ba trường vừa lòng hình vẽ sau:

c. Hệ quả

Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó chế tạo ra thành một tam giác new có cha cạnh tương ứng tỉ lệ với bố cạnh của tam giác đang cho.

(Delta ABC;,,B"C"https://BC Rightarrow fracAB"AB = fracB"C"BC = fracC"ACA.)


1.2. Định lí Talet tổng quát


a. Định lí thuận

Nhiều mặt đường thẳng song song định ra bên trên hai mèo tuyến bất cứ những đoạn thẳng tương xứng tỉ lệ.

(a//,,b,,//,,c Rightarrow fracABBC = fracA"B"B"C")

Chú ý: Ta chứng tỏ dễ dàng định lí này bằng phương pháp kẻ qua A’ một đường thẳng tuy nhiên song cùng với (Delta ), đường này cắt b, c theo sản phẩm tự tại các điểm B’’ với C’’. Thường thấy A’B’’ = AB, B’’C’’ = BC. Sau đó, áp dụng định lí Talet vào tam giác vào tam giác A’C’’C’ nhằm có:

(fracA"B"B"C" = fracA"B""B""C"".)

Từ đây suy ra kết luận.

*

b. Định lí đảo

Cho bố đường thẳng a, b, c giảm hai mèo tuyến (Delta ,,,Delta ") tại các điểm theo thứ tự A, B, C và A’, B’, C’ ưng ý đẳng thức tỉ lệ:

(fracABBC = fracA"B"B"C")

Và nhị trong bố đường trực tiếp a, b, c là song song với nhau thì đường thẳng sót lại cũng song song với hai tuyến phố kia.

(fracABBC = fracA"B"B"C") và (a//b Rightarrow a//b//c)

c. Hệ quả (Các mặt đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng tuy vậy song)

- nhiều đường thẳng đồng vẻ ngoài ra trên hai tuyến phố thẳng song song đầy đủ đoạn thẳng khớp ứng tỉ lệ.

(a//b Rightarrow fracABA"B" = fracBCB"C" = fracACA"C".)

- Ngược lại, nếu những đường trực tiếp định ra trên hai tuyến phố thẳng tuy vậy song những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy trên một điểm.

(fracABA"B" = fracBCB"C" Rightarrow mAA",BB",CC") đồng quy trên O.

Việc chứng tỏ mệnh đề thuận được dựa thẳng vào định lí thuận của định lí Talet

Việc chứng minh mệnh đề hòn đảo thường được dựa vào vào cách thức chứng minh phản chứng.

Chú ý:

1. Bạn ta thường sử dụng định lí Talet vào việc minh chứng các hệ thức dạng.

(eginarraylfracab = fraccd\a.d = b.c\a^2 = b.cendarray)

Nhất là khi trong trả thiết mang đến ta các đường thẳng song song.

2. Định lí đảo của định lí Talet đến ta một cách chứng tỏ hai đường thẳng song song.

3. Hệ trái của định lí Talet tổng quá mang đến ta cách chứng minh các con đường thẳng đồng quy.

Ví dụ 1: mang đến tam giác ABC. Bên trên cạnh AC ta rước hai điểm D, E làm thế nào để cho AD = DE = EC. Trung tuyến AM cắt BD tại phường và trung đường CN giảm BE trên Q.

1. Minh chứng điểm Q là trung điểm của trung đường CN.

2. Chứng tỏ PQ // AC.

3. Suy ra (PQ = frac12MN) cùng (PQ = frac34DE.)

Giải

*

1. Nối AD. Do N là trung điểm của AB, D là trung điểm của AE buộc phải ND // BE tuyệt QE // ND.

QE // ND mà lại E là trung điểm của CD buộc phải suy ra Q là trung điểm của CN.

2. Lí luận như trên, ta chứng tỏ được phường là trung điểm của AM.

Gọi G là giữa trung tâm của tam giác ABC. Như vậy

(AG = frac23AM,,,AP = frac12AM)

Cho ta (GP = AG - AP = frac23AM - frac12AM = frac16AM)

( Rightarrow fracGPGA = frac16AM:frac23AM = frac14)

Chứng minh tương tự, ta có:

(fracGQGC = frac14) giỏi (fracGPGA = fracGQGC Rightarrow PQ//AC.)

3. PQ // AC nhưng MN // AC suy ra PQ // MN,

Cho ta (fracPQMN = fracGPGM = frac16AM:frac13AM Rightarrow fracPQMN = frac12)

( Rightarrow PQ = frac12MN)

(PQ = frac12MN) nhưng mà (MN = frac12AC Rightarrow PQ = frac14AC)

Vì (PQ = frac14AC) cùng (DE = frac13AC Rightarrow fracPQDE = frac34)

( Rightarrow PQ = frac34DE.)

Ví dụ 2: mang đến tứ giác lồi ABCD. Đường trực tiếp qua B và tuy nhiên song cùng với CD giảm AC trên F bà con đường thẳng qua C tuy vậy song với AB giảm BD trên E. Minh chứng EF // AD.

Giải

*

Gọi O là giao điểm của nhị đường chéo AC và BD

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác AOB.

(eginarraylEC//AB Rightarrow fracOCOA = fracOEOB\ Rightarrow OC.OB = OA.OE,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1)endarray)

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác COD:

(eginarraylFB//DC Rightarrow fracOC mOF = fracODOB\ Rightarrow OC.OB = OD. mOF,,,,,,,,,,,,,,,,, m(2)endarray)

Từ (1) cùng (2) suy ra: (OA.OE = OD. mOF Rightarrow fracOAOF = fracODOE) (3)

Từ đẳng thức (3) theo định lí Talet đảo, ta tất cả ngay EF // AD.

Ví dụ 3: Cho góc nhọn xOy. Bên trên cạnh Ox mang hai điểm D, E. Một mặt đường thẳng (d_1) qua D cắt cạnh Oy trên điểm F, con đường thẳng (d_2) đi qua E và tuy nhiên song với (d_1), giảm cạnh Oy trên điểm G. Đường thẳng (d_3)qua G và song song cùng với EF, cắt cạnh Ox trên điểm H. Chứng tỏ hệ thức: (OE^2 = OD.OH.)

Giải

*

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác OEG:

(FD,,//,,EG Rightarrow fracODOE = frac mOFOG,,,,(1))

Với tam giác OGH, ta có:

(GH//FE Rightarrow fracOFOG = fracOEOH,,,,(2))

Từ (1) cùng (2) suy ra: (fracOEOH = fracODOE Rightarrow OE^2 = OD.OH)


Bài 1:Cho hình thang ABCD, đáy bự AB. Từ bỏ đỉnh C, kẻ đường thẳng song song với AD, mặt đường này giảm BD tại p và giảm AB tại E. Qua D, kẻ mặt đường thẳng tuy nhiên song cùng với BC, con đường này cắt AC tại N và giảm AB trên F. Đường thẳng qua E tuy vậy song với AC giảm BC tại Q và đường thẳng qua F tuy vậy song cùng với BD cắt AD trên M.

1. Minh chứng bốn điểm M, N, P, Q nằm trên một đường thẳng tuy nhiên song với hai đáy.

2. Minh chứng MN = PQ

3. Mang đến AB = a, DC = b. Chứng tỏ rằng những điểm M, N, P, Q theo máy tự chia những đoạn trực tiếp AD, AC, BD, BC theo và một tỉ số k. Tính k theo a, b.

Giải

*

1. Ta có:

(MF//DB Rightarrow fracAMDM = frac mAFFB)

Mà FB = DC yêu cầu (fracAMDM = frac mAFDC,,,,(1))

(DC m // m AF Rightarrow fracAFDC = fracANNC,,,,(2))

Từ (1) và (2) suy ra (fracAMDM = fracANNC)

( Rightarrow MN,,,//DC,,,,,,,,,,,(3))

Tương tự, ta có: PQ // DC (4)

(MN//,,DC Rightarrow MN//,,AF Rightarrow fracAMMD = fracFNND.)

Dễ thấy (fracFNND = fracBQQC)

Vậy (fracAMMD = fracBQQC Rightarrow MQ//DC)

Từ (3), (4), (5) theo tiêu đề Ơclit, ta suy ra bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng một mặt đường thẳng song song cùng với DC.

2. Ta có: (fracMNDC = fracAMAD;,,fracPQDC = fracBQBC,, Rightarrow fracMNDC = fracPQDC Rightarrow MN = PQ.)

3. Hay thấy (fracMAMD = fracNANC = fracPBPD = fracQBQC = frac mAFDC = fraca - bb.)

Bài 2:Cho hình thang ABCD đáy to CD; O là giao điểm của hai tuyến đường chéo. Đường trực tiếp qua A song song cùng với BC giảm BD sinh sống E và đường thẳng qua B song song với AD giảm đường trực tiếp AC trên F.

1. Chứng minh EF // AB.

2. Minh chứng hệ thức (AB^2 m = EF m.CD)

3. điện thoại tư vấn (S_1,S_2,S_3,S_4) theo sản phẩm tự là diện tích những tam giác OAB, OCD, OAD với OBC. Chứng minh hệ thức: (S_1.S_2 = S_3.S_4.)

Giải

*

1. Ta có

(eginarraylAE//BC Rightarrow fracOEOB = fracOAOC,,,(1)\BF//AD Rightarrow fracOFOA = fracOBOD,,,(2)\AB//DC Rightarrow fracOAOC = fracOBOD,,,(3)endarray)

Từ (1), (2) với (3) suy ra (fracOEOB = fracOFOA Rightarrow mEF//BC.)

2. Thường thấy AB = MC = DN

(AM//BC Rightarrow fracCDMC = fracDBEB)

Vì MC = AB phải từ đây, ta bao gồm (fracCDAB = fracDBEB) (4)

( mEF//DC Rightarrow fracDNEF = fracDBEB)

Vì dn = AB phải từ đây, ta bao gồm (fracABEF = fracDBEB,,,,(5))

Từ (4) và (5) suy ra (fracABEF = fracCDAB Rightarrow AB^2 m = EF m.CD)

3. Ta có

(eginarraylfracS_OABS_OBC = fracOAOC;fracS_OADS_OCD = fracOAOC Rightarrow fracS_OABS_OBC = fracS_OADS_OCD\ Rightarrow S_1.S_2 = S_3.S_4endarray)

Bài 3:Cho tam giác ABC. Kẻ trung đường AM. đem một điểm D bất kì trên đoạn thẳng AM, J là giao điểm của BD cùng AC; I là giao điểm của CD cùng AB. Minh chứng IJ // BC.

Xem thêm: Dự Án Đầu Tư Công Là Gì ? Phân Loại Vốn Đầu Tư Công

Giải

*

Từ M kẻ đường thẳng tuy vậy song với DC cắt AB ở p. Và kẻ mặt đường thẳng tuy nhiên song cùng với DB giảm AC sinh hoạt Q. Dễ thấy.

IP = PB; JQ = QC

Ta tất cả (MP//CI Rightarrow fracAIAP = fracADAM)

(MQ//BJ Rightarrow frac mAJAQ = fracADAM)

Suy ra (fracAIAP = frac mAJAQ Rightarrow mIJ//PQ,,,(1))

Ta lại sở hữu MP // CI ( Rightarrow fracMAMD = fracPAPI) cơ mà PI = PB