Cho góc vuông(xOy,) điểm(A) bên trong góc đó. Gọi(B) là vấn đề đối xứng với(A) qua(Ox,) gọi(C) là điểm đối xứng với(A) qua(Oy.) minh chứng rằng điểm(B) đối xứng cùng với điểm(C) qua(O.)


 

*

(B)là điểm đối xứng của(A) qua(Ox) (giả thiết)(Rightarrow Ox)là con đường trung trực của(AB)(Rightarrow Ox ot AB,, KA = KB)(C)là điểm đối xứng của(A) qua(Oy) (giả thiết)(Rightarrow Oy)là con đường trung trực của(AC)(Rightarrow Oy ot AC, , IA = IC)Ta có:(AC ot Oy) (chứng minh trên) (Ox ot Oy)(giả thiết)(Rightarrow AC // Ox)hay(AI // OK,,,, (1))Tương từ bỏ ta minh chứng được(OI // AK ,,,,(2))Từ((1)) và((2) Rightarrow AIOK) là hình bình hành(Rightarrow AI = OK = IC)và(KA = OI = KB)Xét nhì tam(IOC) và(KBO,) ta có:(IC = OK)(chứng minh trên)(widehatCIO = widehatOKB = 90^o)(OI = KB)(chứng minh trên)(Rightarrow riangleIOC = riangleKBO) (c.g.c)(Rightarrow OC = OB,,,,,(1))và(widehatC_1 = widehatO_3)Trong tam giác vuông(IOC,) ta có:(widehatO_1 + widehatC_1 = 90^o)hay(widehatO_1 + widehatO_3 = 90^o)(Rightarrow widehatO_1 + widehatO_2 + widehatO_3 = 90^o + 90^o = 180^o)Vậy bố điểm(C,, O,,B) trực tiếp hàng((2))Từ((1)) và((2)) chứng minh rằng điểm(B) đối xứng cùng với điểm(C) qua(O.) 

Nhận xét:

Ngoài cách chứng tỏ OC = OB như trên, chúng ta cũng có thể chứng minh OC = OA = OB.